fisica

jueves, 25 de abril de 2013

movimiento rectilineo uniformemente acelerado

El movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (MRUA), también conocido como movimiento rectilíneo uniformemente variado (MRUV), es aquel en el que un móvil se desplaza sobre una trayectoriarecta estando sometido a una aceleración constante.

Un ejemplo de este tipo de movimiento es el de caída libre vertical, en el cual la aceleración interviniente, y considerada constante, es la que corresponde a la gravedad.

También puede definirse el movimiento como el que realiza una partícula que partiendo del reposo es acelerada por una fuerza constante.

El movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (MRUA) es un caso particular del movimiento uniformemente acelerado (MUA).

En mecánica clásica el movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (MRUA) presenta tres características fundamentales:

La aceleración y la fuerza resultante sobre la partícula son constantes.
La velocidad varía linealmente respecto del tiempo.
La posición varía según una relación cuadrática respecto del tiempo.

La figura muestra las relaciones, respecto del tiempo, del desplazamiento (parábola), velocidad (recta con pendiente) y aceleración (constante, recta horizontal) en el caso concreto de la caída libre (con velocidad inicial nula).

El MRUA, como su propio nombre indica, tiene una aceleración constante, cuyas relaciones dinámicas y cinemáticas, respectivamente, son:

(1) $a(t) = a = \frac{F}{m} = \frac{d^2x}{dt^2}$

En el movimiento rectilíneo acelerado, la aceleración instantánea es representada como la pendiente de la recta tangente a la curva que representa gráficamente la función v(t).

La velocidad v para un instante t dado es:

(2a) $v(t)=at+ v_0 \,$

siendo $v_0\,$ la velocidad inicial.

Finalmente la posición x en función del tiempo se expresa por:

(3) $x(t) = \frac {1}{2} a t^2 + v_0t + x_0$

donde $x_0\,$ es la posición inicial.

Además de las relaciones básicas anteriores, existe una ecuación que relaciona entre sí el desplazamiento y la rapidez del móvil. Ésta se obtiene despejando el tiempo de (2a) y sustituyendo el resultado en (3):

(2b) $v^2= 2 a (x - x_0) + v_0^2 \,$

movimiento acelerado mecanico relativista
En mecánica relativista no existe un equivalente exacto del movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, ya que la aceleración depende de la velocidad y mantener una aceleración constante requeriría una fuerza progresivamente creciente. Lo más cercano que se tiene es el movimiento de una partícula bajo una fuerza constante, que comparte muchas de las características del MUA de la mecánica clásica.

La ecuación de movimiento relativista para el movimiento bajo una fuerza constante partiendo del reposo es:

(4) $\begin{cases} \cfrac{d}{dt}\left( \cfrac{v}{\sqrt{1-v^2/c^2}} \right) = \cfrac{F}{m_0} = w\\ v(0) = 0 \end{cases}$

Donde w es una constante que, para valores pequeños de la velocidad comparados con la velocidad de la luz, es aproximadamente igual a la aceleración (para velocidades cercanas a la de la luz la aceleración es mucho más pequeña que el cociente entre la fuerza y la masa). De hecho la aceleración bajo una fuerza constante viene dada en el caso relativista por:

$a(t) = \frac{w}{\left(1+\frac{w^2t^2}{c^2}\right)^\frac{3}{2}}$

La integral de (4) es sencilla y viene dada por:

(5) $\frac{v}{\sqrt{1-v^2/c^2}} = wt \qquad \Rightarrow \qquad v(t) = \frac{wt}{\sqrt{1+\frac{w^2t^2}{c^2}}}$

E integrando esta última ecuación, suponiendo que inicialmente la partícula ocupaba la posición x = 0, se llega a:

(6) $x(t) = \frac{c^2}{w}\left[\sqrt{1+\frac{w^2t^2}{c^2}} -1 \right]$

En este caso el tiempo propio de la partícula acelerada se puede calcular en función del tiempo coordenado t mediante la expresión:

(7) $\tau = \frac{c}{w}\ln \left[\frac{wt}{c} + \sqrt{1+\frac{w^2t^2}{c^2}}\right]$

Todas estas expresiones pueden generalizarse fácilmente al caso de un movimiento uniformemente acelerado, cuya trayectoria es más complicada que la parábola, tal como sucede en el caso clásico cuando el movimiento se da sobre un plano.

movimiento acelerado en mecanica cuantica

Movimiento bajo fuerza constante en mecánica cuántica

En mecánica cuántica no se puede hablar de trayectorias ya que la posición de la partícula no puede determinarse con precisión arbitraria, por lo que sólo existen análogos cuánticos imperfectos del movimiento rectilíneo clásico. El equivalente cuántico más simple de movimiento uniformemente acelerado es el de una partícula cuántica (no relativista y sin espín) en un campo de fuerzas conservativo en el que la energía potencial es una función lineal de la coordenada.

$-\frac{\hbar^2}{2m} \frac{\part^2 \Psi}{\part x^2} - xF \psi(x,t) = i\frac{\part \Psi(x,t)}{\part t}$

La solución general de esta ecuación puede escribirse como transformada de Fourier del conjunto de soluciones de la ecuación estacionaria:

$\Psi(x,t)= \left(\frac{m}{\hbar^2F^2}\right)^{1/3} \int_{-\infty}^{+\infty} A_E\ \hat{\psi}(x;E)e^{-iEt/\hbar}\ dE$

Donde $\scriptstyle A_E$ la amplitud es una función de la energía que debe escogerse para satisfacer las condiciones iniciales y la función $\scriptstyle \hat{\psi}(x;E)$ en el integrando debe ser solución de la ecuación de Schrödinger estacionaria:

$-\frac{\hbar^2}{2m} \frac{\part^2 \psi_E}{\part x^2} - xF \psi_E(x) = E\psi_E(x), \qquad \psi_E(x):= \hat{\psi}(x;E)$

Donde:

$\hbar\,$ es la constante de Planck racionalizada.

$m\,$ es la masa de la partícula.

$F\,$ es la fuerza que se ejerce sobre la partícula.

$E\,$ es la energía de un estado estacionario del hamiltoniano cuántico.

Haciendo el cambio de variable:

$\bar{x} = - \left( \frac{2m}{\hbar^2 F} \right)^{1/3} (E+xF)$

Entonces la ecuación (*) equivale a la ecuación:

$\frac{d^2 \psi_E(\bar{x}) }{d\bar{x}^2} - \bar{x} \psi_E(\bar{x}) =0$

Que es la ecuación de Airy, por lo que la solución general de la ecuación de Schrödinger queda en términos de funciones Airy:

$\psi_E(x)=A \mathrm{Ai}(\bar{x}) + B \mathrm{Bi}(\bar{x})$

Por consideraciones físicas B = 0, ya que en caso contrario la anterior función no sería acotada.

$\psi_E(x)= A \mathrm{Ai}\left[\left( \frac{2m}{\hbar^2 F} \right)^{1/3} (Fx +E)\right]$

Nótese que la ecuación anterior tiene solución para cualquier valor de E y por tanto los estados energéticos posibles de una partícula tienen un espectro continuo (a diferencia de lo que pasa para otros sistemas cuánticos con niveles de energía discretos).

movimiento rectilineo uniforme

Un movimiento es rectilíneo cuando el móvil describe una trayectoria recta, y es uniforme cuando su velocidad es constante en el tiempo, dado que su aceleración es nula. Nos referimos a él mediante el acrónimo MRU.

Movimiento que se realiza sobre una línea recta.
Velocidad constante; implica magnitud y dirección constantes.
La magnitud de la velocidad recibe el nombre de celeridad o rapidez.
Aceleración nula.

propiedades y caracteristicas:

La distancia recorrida se calcula multiplicando la magnitud de la velocidad velocidad o rapidez por el tiempo transcurrido. Esta relación también es aplicable si la trayectoria no es rectilínea, con tal que la rapidez o módulo de la velocidad sea constante.

Por lo tanto el movimiento puede considerarse en dos sentidos; una velocidad negativa representa un movimiento en dirección contraria al sentido que convencionalmente hayamos adoptado como positivo.

De acuerdo con la Primera Ley de Newton, toda partícula permanece en reposo o en movimiento rectilíneo uniforme cuando no hay una fuerza neta que actúe sobre el cuerpo. Esta es una situación ideal, ya que siempre existen fuerzas que tienden a alterar el movimiento de las partículas, por lo que en el movimiento rectilíneo uniforme (M.R.U) es difícil encontrar la fuerza amplificada.

representacion grafica del movimiento:

Al representar gráficamente la velocidad en función del tiempo se obtiene una recta paralela al eje de abscisas (tiempo). Además, el área bajo la recta producida representa la distancia recorrida.

La representación gráfica de la distancia recorrida en función del tiempo da lugar a una recta cuya pendiente se corresponde con la velocidad.

ecuaciones del movimiento:

Sabemos que la velocidad $\mathbf{v}$ es constante; esto significa que no existe aceleración.

La posición $\mathbf{s}$ en cualquier instante $t\,$ viene dada por V= S/T

Esta ecuación se obtiene de:

Para el cálculo del espacio recorrido, sabiendo que la velocidad es constante y de acuerdo con la definición de velocidad, $\mathbf{v} = \frac{d \mathbf{x}}{dt}$ separando variables,

$d \mathbf{x} = \mathbf{v}\,dt$

integrando,

$\int_{v_f}^{x} d \mathbf{x} = \int_{0}^{t} \mathbf{v}\,dt$

y realizando la integral,

$\mathbf{x} = \mathbf{x_0} + \mathbf{v}\,t$

Donde $\mathbf{x_0}$ es la constante de integración, que corresponde a la posición del móvil para $t=0\,$ . Si en el instante $t=0\,$ el móvil esta en el origen de coordenadas, entonces $\mathbf{x_0} = 0$ . Esta ecuación determina la posición de la partícula en movimiento en función del tiempo.

metodos de los vectores

MÉTODOS GRÁFICOS PARA EL CÁLCULO DE LOS VECTORES RESULTANTE V R Y EQUILIBRANTE V E .

Introducción: Antes de entrar a la aplicación de los métodos gráficos es necesario tener en cuenta las siguientes consideraciones.

a) La convención de signos es : Para la "x" + a la derecha y - a la izquierda.

Para la "y" + arriba y - abajo.

b) Una escala para representar la magnitud vectorial por medio de una flecha. La fórmula que se utilizará es :Escala = Magnitud del vector x de referencia / Magnitud en cm. que se desea que tenga en el papel, o seaEsc. = Vx / cm. De Vx . por ejemplo si tenemos un vector A = 120 Km/h a 30° al norte del esteLa escala será:

Esc. = 120 Km/4cm , Esc.= 30 Km. / cm., es decir cada centímetro representará 30 Km. en el papel y los demas vectores para el mismo ejercicio o problema se les aplicará la misma escala.

Método del paralelogramo.

Un paralelogramo es una figura geométrica de cuatro lados paralelos dos a dos sus lados opuestos. En este método se nos dan dos vectores concurrentes, los cuales después de dibujarse a escala en un sistema de ejes cartesianos se les dibujaran otros vectores auxiliares paralelos con un juego de geometría siendo la resultante del sistema la diagonal que parte del origen y llega al punto donde se intersectan los vectores auxiliares.

Ejemplo

SI DOS CUERDAS ESTAN ATADAS EN UNA ARGOLLA DE METAL Y SE JALAN, LA PRIMERA CON UNA FUERZA DE 45 NEWTONS CON DIRECCION AL ESTE Y LA SEGUNDA DE 30 NEWTONS A 120°. ¿CUAL SERÁ LA DIRECCIÓN Y MAGNITUD DE LA FUERZA RESULTANTE VR.

Solución: Sea A el primer vector y B el segundo, entonces A = 45 N, dirección E. y B = 30 N, a 120°.

Escala = 45 N / 5cm. = 9 N/cm. o sea1cm : 9 N

Se traza A´ paralela al vector A y B´ paralela a B , el vector resultante será el que sale desde el origen hasta la intersección con los vectores auxiliares A´y B´ después la longitud de VRse multiplica por la escala para obtener la magnitud real de VR.

metodo del triangulo.

En este método, los vecores se deben trasladar (sin cambiarle sus propiedades) de tal forma que la "cabeza" del uno se conecte con la "cola" del otro (el orden no interesa, pues la suma es conmutativa). El vector resultante se representa por la "flecha" que une la "cola" que queda libre con la "cabeza" que también está libre (es decir se cierra un triángulo con un "choque de cabezas" . En la figura 1 se ilustra el método.

Figura 1

En la figura 1 el vector de color negro es la suma vectorial de los vectores de color rojo y de color azul.

Si la operación se hace graficamente con el debido cuidado, sólo bastaría medir con una regla el tamaño del vector de color negro utilizando la misma escala que utilizó para dibujar los vectores sumandos (el rojo y el azul). Esa sería la magnitud de la suma. La dirección se podría averiguar midiendo con un transportador el ángulo que forma con una línea horizontal.

Pero no nos basta con saberlo hacer gráficamente. Tendremos que aprenderlo a realizar analíticamente. Para ello se deben utilizar los teoremas del seno y del coseno y si es un triángulo rectángulo se utilizará el teorema de Pitágoras.

En el caso de la figura 1 las relaciones posibles entre los lados de ese triángulo son las siguientes:

metodo del poligono:

Cuando vamos a sumar más de dos vectores , podemos sumar dos de ellos por el método del triángulo. Luego el vector resultante sumarlo con otro vector también por el método del triángulo, y así sucesivamente hasta llegar a obtener la resultante final.

Otra forma de hacer la suma , es utilizando el llamado método del polígono. Este método es simplemente la extensión del método del triángulo. Es decir, se van desplazando los vectores para colocarlos la "cabeza" del uno con la "cola" del otro (un "trencito") y la resultante final es el vector que cierra el polígono desde la "cola" que quedo libre hasta la "cabeza" que quedo también libre (cerrar con un "choque de cabezas"). Nuevamente el orden en que se realice la suma no interesa, pues aunque el polígno resultante tiene forma diferente en cada caso, la resultante final conserva su magnitud, su dirección y su sentido.

Este método sólo es eficiente desde punto de vista gráfico, y no como un método analítico. En la figura 1se ilustra la suma de cuatro vectores.

Figura 1

En la siguiente simulación , observarás la suma de varios vectores mediante el método del polígono. Podrás variar la magnitud (módulo) y la dirección de los vectores.

producto vectorial

Definición

Relaciones entre los vectores.

Sean dos vectores $\mathbf a$ y $\mathbf b$ en el espacio vectorial $\mathbb{R}^3$ . El producto vectorial entre $\mathbf a\,$ y $\mathbf b\,$ da como resultado un nuevo vector, $\mathbf c\,$ . El producto vectorial entre a y b se denota mediante a × b, por ello se lo llama también producto cruz. En los textos manuscritos, para evitar confusiones con la letra x (equis), es frecuente denotar el producto vectorial mediante¹ :

$\mathbf{a} \wedge \mathbf{b}, \qquad \mathbf{a} \times \mathbf{b}$

El producto vectorial puede definirse de una manera más compacta de la siguiente manera:

${\mathbf a \times \mathbf b = (|\mathbf{a}| |\mathbf{b}| \sin{\theta})\ \hat{\mathbf n}}$

donde $\hat{\mathbf n}$ es el vector unitario y ortogonal a los vectores a y b y su dirección está dada por la regla de la mano derecha y θ es, como antes, el ángulo entre a y b. A la regla de la mano derecha se la llama a menudo también regla del sacacorcho.

[editar]Producto vectorial de dos vectores

Sean los vectores concurrentes de $\mathbb{R}^3$ , el espacio afín tridimensional según la base anterior. Se define el producto:

$\mathbf u = u_x \mathbf i + u_y \mathbf j + u_z \mathbf k$

$\mathbf v = v_x \mathbf i + v_y \mathbf j + v_z \mathbf k$

$\mathbf w = w_x \mathbf i + w_y \mathbf j + w_z \mathbf k$

Donde w es el producto vectorial de u y v, definido así:

$\begin{array}{rrcl} \times : & \mathbb{R}^3 \times \mathbb{R}^3 & \longrightarrow & \mathbb{R}^3 \\ & (\mathbf u , \mathbf v) & \longrightarrow & \mathbf w = \mathbf u \times \mathbf v \end{array}$

donde la última fórmula se interpreta como:

$\mathbf w = \mathbf u \times \mathbf v = (u_yv_z-u_zv_y)\mathbf i + (u_zv_x-u_xv_z) \mathbf j + (u_xv_y-u_yv_x) \mathbf k$

esto es:

$w_x = u_y v_z - u_z v_y$

$w_y = u_z v_x - u_x v_z$

$w_z = u_x v_y - u_y v_x$

Usando una notación más compacta, mediante el desarrollo por la primera fila de un determinante simbólico de orden 3 (simbólico ya que los términos de la primera fila no son escalares):

$\mathbf w = \mathbf u \times \mathbf v = \begin{vmatrix} \mathbf i & \mathbf j & \mathbf k \\ u_x & u_y & u_z \\ v_x & v_y & v_z \\ \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} u_y & u_z \\ v_y & v_z \\ \end{vmatrix} \cdot \mathbf i - \begin{vmatrix} u_x & u_z \\ v_x & v_z \\ \end{vmatrix} \cdot \mathbf j + \begin{vmatrix} u_x & u_y \\ v_x & v_y \\ \end{vmatrix} \cdot \mathbf k$

Que da origen a la llamada regla de la mano derecha o regla del sacacorchos: girando el primer vector hacia el segundo por el ángulo más pequeño, la dirección de $\mathbf u \times \mathbf v$ es el de un sacacorchos que gire en la misma dirección.

La siguiente expresión, aunque carece de significado matemático estricto, sirve de método nemónico para recordar el orden de las coordenadas en el producto:^{[cita requerida]}

$\mathbf w = \mathbf{u} \times \mathbf{v} = \begin{bmatrix} u_x \\ u_y \\ u_z \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} v_x \\ v_y \\ v_z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} u_yv_z-u_zv_y \\ u_zv_x-u_xv_z \\ u_xv_y-u_yv_x \end{bmatrix}$