fisica: producto vectorial

Definición

Relaciones entre los vectores.

Sean dos vectores $\mathbf a$ y $\mathbf b$ en el espacio vectorial $\mathbb{R}^3$ . El producto vectorial entre $\mathbf a\,$ y $\mathbf b\,$ da como resultado un nuevo vector, $\mathbf c\,$ . El producto vectorial entre a y b se denota mediante a × b, por ello se lo llama también producto cruz. En los textos manuscritos, para evitar confusiones con la letra x (equis), es frecuente denotar el producto vectorial mediante¹ :

$\mathbf{a} \wedge \mathbf{b}, \qquad \mathbf{a} \times \mathbf{b}$

El producto vectorial puede definirse de una manera más compacta de la siguiente manera:

${\mathbf a \times \mathbf b = (|\mathbf{a}| |\mathbf{b}| \sin{\theta})\ \hat{\mathbf n}}$

donde $\hat{\mathbf n}$ es el vector unitario y ortogonal a los vectores a y b y su dirección está dada por la regla de la mano derecha y θ es, como antes, el ángulo entre a y b. A la regla de la mano derecha se la llama a menudo también regla del sacacorcho.

[editar]Producto vectorial de dos vectores

Sean los vectores concurrentes de $\mathbb{R}^3$ , el espacio afín tridimensional según la base anterior. Se define el producto:

$\mathbf u = u_x \mathbf i + u_y \mathbf j + u_z \mathbf k$

$\mathbf v = v_x \mathbf i + v_y \mathbf j + v_z \mathbf k$

$\mathbf w = w_x \mathbf i + w_y \mathbf j + w_z \mathbf k$

Donde w es el producto vectorial de u y v, definido así:

$\begin{array}{rrcl} \times : & \mathbb{R}^3 \times \mathbb{R}^3 & \longrightarrow & \mathbb{R}^3 \\ & (\mathbf u , \mathbf v) & \longrightarrow & \mathbf w = \mathbf u \times \mathbf v \end{array}$

donde la última fórmula se interpreta como:

$\mathbf w = \mathbf u \times \mathbf v = (u_yv_z-u_zv_y)\mathbf i + (u_zv_x-u_xv_z) \mathbf j + (u_xv_y-u_yv_x) \mathbf k$

esto es:

$w_x = u_y v_z - u_z v_y$

$w_y = u_z v_x - u_x v_z$

$w_z = u_x v_y - u_y v_x$

Usando una notación más compacta, mediante el desarrollo por la primera fila de un determinante simbólico de orden 3 (simbólico ya que los términos de la primera fila no son escalares):

$\mathbf w = \mathbf u \times \mathbf v = \begin{vmatrix} \mathbf i & \mathbf j & \mathbf k \\ u_x & u_y & u_z \\ v_x & v_y & v_z \\ \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} u_y & u_z \\ v_y & v_z \\ \end{vmatrix} \cdot \mathbf i - \begin{vmatrix} u_x & u_z \\ v_x & v_z \\ \end{vmatrix} \cdot \mathbf j + \begin{vmatrix} u_x & u_y \\ v_x & v_y \\ \end{vmatrix} \cdot \mathbf k$

Que da origen a la llamada regla de la mano derecha o regla del sacacorchos: girando el primer vector hacia el segundo por el ángulo más pequeño, la dirección de $\mathbf u \times \mathbf v$ es el de un sacacorchos que gire en la misma dirección.

La siguiente expresión, aunque carece de significado matemático estricto, sirve de método nemónico para recordar el orden de las coordenadas en el producto:^{[cita requerida]}

$\mathbf w = \mathbf{u} \times \mathbf{v} = \begin{bmatrix} u_x \\ u_y \\ u_z \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} v_x \\ v_y \\ v_z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} u_yv_z-u_zv_y \\ u_zv_x-u_xv_z \\ u_xv_y-u_yv_x \end{bmatrix}$

fisica

jueves, 25 de abril de 2013

producto vectorial

Definición

[editar]Producto vectorial de dos vectores

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