jueves, 25 de abril de 2013

movimiento rectilineo uniformemente acelerado


El movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (MRUA), también conocido como movimiento rectilíneo uniformemente variado (MRUV), es aquel en el que un móvil se desplaza sobre una trayectoriarecta estando sometido a una aceleración constante.
Un ejemplo de este tipo de movimiento es el de caída libre vertical, en el cual la aceleración interviniente, y considerada constante, es la que corresponde a la gravedad.
También puede definirse el movimiento como el que realiza una partícula que partiendo del reposo es acelerada por una fuerza constante.
El movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (MRUA) es un caso particular del movimiento uniformemente acelerado (MUA).
En mecánica clásica el movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (MRUA) presenta tres características fundamentales:
  1. La aceleración y la fuerza resultante sobre la partícula son constantes.
  2. La velocidad varía linealmente respecto del tiempo.
  3. La posición varía según una relación cuadrática respecto del tiempo.
La figura muestra las relaciones, respecto del tiempo, del desplazamiento (parábola), velocidad (recta con pendiente) y aceleración (constante, recta horizontal) en el caso concreto de la caída libre (con velocidad inicial nula).
El MRUA, como su propio nombre indica, tiene una aceleración constante, cuyas relaciones dinámicas y cinemáticas, respectivamente, son:
(1) a(t) = a = \frac{F}{m} = \frac{d^2x}{dt^2}
En el movimiento rectilíneo acelerado, la aceleración instantánea es representada como la pendiente de la recta tangente a la curva que representa gráficamente la función v(t).
La velocidad v para un instante t dado es:
(2a)v(t)=at+ v_0 \,
siendo v_0\, la velocidad inicial.
Finalmente la posición x en función del tiempo se expresa por:
(3) x(t) = \frac {1}{2} a t^2 + v_0t + x_0
donde x_0\, es la posición inicial.
Además de las relaciones básicas anteriores, existe una ecuación que relaciona entre sí el desplazamiento y la rapidez del móvil. Ésta se obtiene despejando el tiempo de (2a) y sustituyendo el resultado en (3):
(2b)v^2= 2 a (x - x_0) + v_0^2 \,
movimiento acelerado mecanico relativista
 En mecánica relativista no existe un equivalente exacto del movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, ya que la aceleración depende de la velocidad y mantener una aceleración constante requeriría una fuerza progresivamente creciente. Lo más cercano que se tiene es el movimiento de una partícula bajo una fuerza constante, que comparte muchas de las características del MUA de la mecánica clásica.

La ecuación de movimiento relativista para el movimiento bajo una fuerza constante partiendo del reposo es:
(4)\begin{cases} \cfrac{d}{dt}\left( \cfrac{v}{\sqrt{1-v^2/c^2}} \right) = \cfrac{F}{m_0} = w\\ v(0) = 0 \end{cases}
Donde w es una constante que, para valores pequeños de la velocidad comparados con la velocidad de la luz, es aproximadamente igual a la aceleración (para velocidades cercanas a la de la luz la aceleración es mucho más pequeña que el cociente entre la fuerza y la masa). De hecho la aceleración bajo una fuerza constante viene dada en el caso relativista por:
a(t) = \frac{w}{\left(1+\frac{w^2t^2}{c^2}\right)^\frac{3}{2}}
La integral de (4) es sencilla y viene dada por:
(5)\frac{v}{\sqrt{1-v^2/c^2}} = wt \qquad \Rightarrow \qquad v(t) = \frac{wt}{\sqrt{1+\frac{w^2t^2}{c^2}}}
E integrando esta última ecuación, suponiendo que inicialmente la partícula ocupaba la posición x = 0, se llega a:
(6)x(t) = \frac{c^2}{w}\left[\sqrt{1+\frac{w^2t^2}{c^2}} -1 \right]
En este caso el tiempo propio de la partícula acelerada se puede calcular en función del tiempo coordenado t mediante la expresión:
(7)\tau = \frac{c}{w}\ln \left[\frac{wt}{c} + \sqrt{1+\frac{w^2t^2}{c^2}}\right]
Todas estas expresiones pueden generalizarse fácilmente al caso de un movimiento uniformemente acelerado, cuya trayectoria es más complicada que la parábola, tal como sucede en el caso clásico cuando el movimiento se da sobre un plano.
movimiento acelerado en mecanica cuantica

Movimiento bajo fuerza constante en mecánica cuántica

En mecánica cuántica no se puede hablar de trayectorias ya que la posición de la partícula no puede determinarse con precisión arbitraria, por lo que sólo existen análogos cuánticos imperfectos del movimiento rectilíneo clásico. El equivalente cuántico más simple de movimiento uniformemente acelerado es el de una partícula cuántica (no relativista y sin espín) en un campo de fuerzas conservativo en el que la energía potencial es una función lineal de la coordenada.
-\frac{\hbar^2}{2m} \frac{\part^2 \Psi}{\part x^2} - xF \psi(x,t) = i\frac{\part \Psi(x,t)}{\part t}
La solución general de esta ecuación puede escribirse como transformada de Fourier del conjunto de soluciones de la ecuación estacionaria:
\Psi(x,t)= \left(\frac{m}{\hbar^2F^2}\right)^{1/3} \int_{-\infty}^{+\infty} A_E\ \hat{\psi}(x;E)e^{-iEt/\hbar}\ dE
Donde \scriptstyle A_E la amplitud es una función de la energía que debe escogerse para satisfacer las condiciones iniciales y la función \scriptstyle \hat{\psi}(x;E) en el integrando debe ser solución de la ecuación de Schrödinger estacionaria:
-\frac{\hbar^2}{2m} \frac{\part^2 \psi_E}{\part x^2} - xF \psi_E(x) = E\psi_E(x), \qquad \psi_E(x):= \hat{\psi}(x;E)
Donde:
\hbar\, es la constante de Planck racionalizada.
m\, es la masa de la partícula.
F\, es la fuerza que se ejerce sobre la partícula.
E\, es la energía de un estado estacionario del hamiltoniano cuántico.
Haciendo el cambio de variable:
\bar{x} = - \left( \frac{2m}{\hbar^2 F} \right)^{1/3} (E+xF)
Entonces la ecuación (*) equivale a la ecuación:
\frac{d^2 \psi_E(\bar{x}) }{d\bar{x}^2} - \bar{x} \psi_E(\bar{x}) =0
Que es la ecuación de Airy, por lo que la solución general de la ecuación de Schrödinger queda en términos de funciones Airy:
\psi_E(x)=A \mathrm{Ai}(\bar{x}) + B \mathrm{Bi}(\bar{x})
Por consideraciones físicas B = 0, ya que en caso contrario la anterior función no sería acotada.
\psi_E(x)= A \mathrm{Ai}\left[\left( \frac{2m}{\hbar^2 F} \right)^{1/3} (Fx +E)\right]
Nótese que la ecuación anterior tiene solución para cualquier valor de E y por tanto los estados energéticos posibles de una partícula tienen un espectro continuo (a diferencia de lo que pasa para otros sistemas cuánticos con niveles de energía discretos).



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